La mesure du mouvement. Le travail

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  • Ancienne préface à l'Anti-Dühring. Sur la dialectique
  • La science de la nature dans le monde des esprits
  • La dialectique
  • Les formes fondamentales du mouvement
  • La mesure du mouvement. Le travail
  • Le frottement des marées. Kant et Thomson-Tait. La rotation de la terre et l'attrac­tion de la lune
  • La chaleur
  • L'électricité
  • Le Rôle du travail dans la transformation du singe en Homme
  • Notes et fragments
  • Table chronologique des fragments et chapitres

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Ce titre a été donné par Engels sur la première page du manuscrit de ce chapi­tre. Celui-ci est tiré de la troisième liasse. Dans le sommaire de cette liasse, rédigé par Engels, ce chapitre s'intitule : « Deux mesures du mouvement ». Il a été vraisembla­blement écrit en 1880 ou 1881. (O.G.I.Z., Obs.)

Par contre, j'ai toujours trouvé jusqu'ici que les concepts fondamentaux de ce domaine (c'est-à-dire « les concepts physiques fondamentaux de travail et leur caractère immuable ») semblent très difficiles à saisir pour les personnes qui ne sont pas passées par l'école de la mécanique mathématique, malgré tout leur zèle, leur intelligence et même un degré assez élevé de connaissances scientifiques. Il ne faut pas non plus méconnaître que ce sont des abstractions d'une sorte toute particulière. Leur intelligence n'a-t-elle pas été jusqu'à présenter quelque difficulté, même pour un esprit comme E. Kant, ainsi que le montre la polémique qu'il a soutenue sur cette question contre Leibniz.

Ainsi parle Helmholtz. (Conférences scientifiques populaires, II, préface ).

Ainsi nous nous risquons maintenant sur un terrain très dangereux, d'autant plus dangereux que nous ne pouvons guère nous permettre de conduire le lecteur « par l'école de la mécanique mathématique ». Mais peut-être apparaîtra-t-il que, là où il s'agit de concepts, la pensée dialectique conduit tout au moins à des résultats aussi féconds que le calcul mathématique.

Galilée découvrit d'une part la loi de la chute des corps, selon laquelle les espaces parcourus sont Proportionnels aux carrés des temps de chute. A côté de cela, il établit le principe qui, comme nous le verrons, ne correspond pas tout à fait à cette loi, selon lequel la quantité de mouvement d'un corps (son impeto ou momento) est déterminée par la masse et la vitesse, de telle sorte qu'à masse constante elle est proportionnelle à la vitesse. Descartes reconnut ce dernier principe et fit d'une façon générale du pro­duit de la masse d'un corps en mouvement par sa vitesse la mesure de son mouve­ment.

Huyghens trouvait déjà que, dans le choc élastique, la somme des produits des masses par les carrés des vitesses est la même avant et après le choc, et qu'une loi analogue est valable pour divers autres cas de mouvement de corps liés entre eux dans un système.

Leibniz fut le premier à voir que la mesure cartésienne du mouvement est en con­tradiction avec la loi de la chute des corps. Par ailleurs, il était indéniable que, dans bien des cas, la loi de Descartes était exacte. Leibniz divise donc les forces motrices en forces inertes et en forces vives. Les forces inertes étaient les « pres­sions » ou « trac­tions » de corps en repos, leur mesure le produit de la masse par la vitesse avec laquelle le corps se déplaçait s'il passait du repos au mouvement ; par contre comme mesure de la force vive, du mouvement réel d'un corps, il adopta le produit de la masse par le carré de la vitesse. Et il déduisit directement de la loi de la chute des corps cette nouvelle mesure du mouvement.

Il faut - ainsi concluait Leibniz - la même force pour élever d'un pied un poids de quatre livres que pour élever de quatre pieds un poids d'une livre; or les chemins parcourus sont proportionnels au carre de la vitesse, car, lorsqu'un corps est tombé d'une hauteur de quatre pieds, il a atteint une vitesse double de celle qu'il aurait en tombant d'un pied. Mais, en tombant, les corps acquièrent la force de remonter à la hauteur d'où ils sont tombés ; donc les forces sont proportionnelles au carré de la vitesse. (SUTER : Histoire des mathématiques, Il, p. 367.)

Mais, plus loin, il démontra que la mesure du mouvement mv est en contradiction avec le principe cartésien de la constance de la quantité de mouvement, car, si cette mesure était réellement valable, la force (c'est-à-dire la quantité de mouvement) dans la nature augmenterait ou diminuerait constamment. Il esquissa même un projet d'appareil (1690, Acta eruditorum)) qui, si la mesure mv était exacte, devait fournir un mouvement perpétuel donnant constamment une force nouvelle, ce qui serait absurde. A notre époque, Helmholtz a souvent utilisé ce genre d'argumentation.

Les cartésiens protestèrent de toutes leurs forces, et une longue et célèbre querelle se déchaîna, à laquelle Kant prit part lui aussi avec sa première oeuvre (Pensées sur l'estimation vraie des forces vives, 1746), sans toutefois y voir clair. Les mathéma­ticiens d'aujourd'hui considèrent avec un certain mépris cette querelle « stérile » qui

se poursuivit pendant plus de quarante ans et divisa les mathématiciens d'Europe en deux camps hostiles, jusqu'à ce qu'enfin d'Alembert, dans son Traité de dynamique (1743), mit fin en quelque sorte par un arrêt sans appel à cette inutile querelle de mots, car ce n'était pas autre chose. (SUTER, ibid. p. 366.)

Or il semblerait tout de même qu'une controverse qui fut soulevée par un penseur comme Leibniz contre un penseur aussi grand que Descartes, et qui occupa un homme tel que Kant au point qu'il lui consacra sa première oeuvre, un volume assez épais, ne peut pas reposer exclusivement sur une inutile querelle de mots. Et effecti­ve­ment, comment peut-on concilier le fait que le mouvement ait deux mesures contradictoires, qu'il soit proportionnel, dans un cas, à la vitesse, dans l'autre, au carré de la vitesse ? Suter en prend très à son aise avec cette question; il dit que les deux parties avaient à la fois raison et tort :

L'expression « force vive » s'est pourtant maintenue jusqu'à nos jours, mais elle n'est plus considérée comme mesure de la force, elle est une simple désignation, admise une fois pour toutes, du produit de la masse par le demi-carré de la vitesse qui joue un rôle si important en mécanique (p. 38)

De cette façon, mv reste la mesure du mouvement et la force vive n'est qu'une autre expression pour [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] formule dont certes nous apprenons qu'elle est très impor­tan­te pour la mécanique, mais dont nous ne savons vraiment plus maintenant ce qu'elle signifie.

Cependant, prenons en main ce Traité de dynamique sauveur et examinons de plus près « l'arrêt sans appel » de d'Alembert : il se trouve dans la Préface. Dans le texte, nous dit-on, toute cette question ne se présente absolument pas, du fait de « l'inutilité parfaite dont elle est pour la mécanique ». Ceci est tout à fait juste pour la mécanique purement mathématique, dans laquelle, comme plus haut chez Suter, les désignations verbales ne sont que des expressions autres, des appellations pour des for­mules algébriques, appellations derrière lesquelles il vaut mieux ne rien se repré­senter du tout. Cependant, puisque des gens aussi importants s'étaient occupés de la question, il voulait tout de même, lui d'Alembert, l'étudier brièvement dans la Préfa­ce. Par force des corps en mouvement, on pouvait, pour penser clairement, n'entendre que leur propriété de triompher d'obstacles ou de leur résister. En conséquence il ne fallait mesurer la force ni par mv, ni par mv2, mais seulement par les obstacles et la résistance qu'ils opposent.

Or il existe trois sortes d'obstacles: 1º les obstacles insurmontables qui anéantis­sent totalement le mouvement, et qui, pour cette raison déjà, ne peuvent entrer en ligne de compte ici; 2º les obstacles dont la résistance suffit juste à supprimer le mouve­ment et qui le font d'une façon momentanée : c'est le cas de l'équilibre; 3º les obstacles qui ne suppriment le mouvement que peu à peu: c'est le cas du mouvement retardé.

Or, tout le monde convient qu'il y a équilibre entre deux corps, quand les produits de leurs masses par leurs vitesses virtuelles, c'est-à-dire par les vitesses avec les­quelles ils tendent à se mouvoir, sont égaux de part et d'autre. Donc, dans l'équilibre, le produit de la masse par la vitesse, ou, ce qui est la même chose la quantité de mouvement peut représenter la force. Tout le monde convient aussi que dans le mouvement retardé, le nombre des obstacles vaincus est comme le carré de la vitesse, en sorte qu'un corps qui a fermé un ressort, par exemple avec une certaine vitesse, pourra avec une vitesse double fermer, ou tout à la fois, ou successivement, non pas deux, mais quatre ressorts semblables au premier, neuf avec une vitesse triple et ainsi du reste. D'où les partisans des forces vives [les Leibniziens] concluent que la force des corps qui se meuvent actuellement est en général comme le produit de la masse par le carré de la vitesse. Au fond quel inconvénient pourrait-il y avoir à ce que la mesure des forces fût différente dans l'équilibre et dans le mouvement retardé, puisque, si on veut ne raisonner que d'après des idées claires, on doit n'entendre par le mot force que l'effet produit en surmontant l'obstacle ou en lui résistant ? (Préface, pp. XIX-XX de l'édition originale.)

Mais d'Alembert est encore beaucoup trop philosophe pour ne pas remarquer qu'il ne sera pas quitte à si bon compte de la contradiction d'une double mesure pour une seule et même force. Aussi, après s'être au fond contenté de répéter ce que Leibniz avait déjà dit, - car son équilibre est tout à fait la même chose que les « pressions iner­tes » chez Leibniz, - il passe brusquement du côté des cartésiens, et il trouve l'échap­­patoire suivante : le produit mv peut aussi être considéré comme mesure des forces dans le mouvement retardé

si dans ce dernier cas on mesure la force non par la quantité absolue des obstacles, mais par la somme des résistances de ces mêmes obstacles. Car on ne saurait douter que cette somme des résistances ne soit proportionnelle à la quantité du mouvement (mv), puisque, de l'aveu de tout le monde, la quantité de mouvement que le corps perd à chaque instant est propor­tionnelle au produit de la résistance par la durée infiniment petite de l'instant et que la somme de ces produits est évidemment la résistance totale.

Cette dernière manière de calculer lui paraît plus naturelle,

car un obstacle n'est tel qu'en tant qu'il résiste, et c'est, à proprement parler, la somme des résistances qui est l'obstacle vaincu ; d'ailleurs, en estimant ainsi la force, on a l'avantage d'avoir pour l'équilibre et pour le mouvement retardé une mesure commune (p. xxi).

Pourtant, dit-il, chacun pourra considérer cela comme il voudra. Et après qu'il croit, comme Suter lui-même l'admet, avoir résolu la question par un procédé mathé­matique incorrect, il conclut son exposé par des remarques désagréables sur la confusion qui a régné chez ses prédécesseurs-et il affirme qu'après les observations qu'il vient de faire il n'y a plus possibilité que pour une discussion métaphysique tout à fait futile, ou même pour une querelle de mots plus indigne encore.

La proposition conciliatrice de d'Alembert aboutit au calcul suivant :

Une masse 1 avec une vitesse 1 ferme 1 ressort dans l'unité de temps.

Une masse 1 avec une vitesse 2 ferme 4 ressorts, mais a besoin de 2 unités de temps, donc ferme dans l'unité de temps 2 ressorts seulement.

Une masse 1 avec une vitesse 3 ferme 9 ressorts dans 3 unités de temps, donc ferme dans 1 unité de temps 3 ressorts seulement.

Cela signifie que, si nous divisons l'effet par le temps nécessaire à l'obtenir, nous revenons de mv² à mv.

C'est le même argument que Catelan, notamment, avait déjà utilisé auparavant contre Leibniz : un corps de vitesse 2 S'élève certes contre la pesanteur 4 fois plus haut qu'un corps de vitesse 1 ; mais il lui faut le double de temps ; par conséquent il faut diviser la quantité de mouvement par le temps, et elle est égale à 2, non à 4. Et, chose étrange, c'est aussi le point de vue de Suter qui a, il est vrai, enlevé tout sens logique à l'expression « force vive » pour ne lui laisser qu'un sens mathématique. Toutefois cela est naturel. Pour Suter, il s'agit de sauver la valeur de la formule mv comme unique mesure de la quantité de mouvement, et c'est pourquoi mv2 est sacri­fié sur le plan logique pour ressusciter transfiguré dans le ciel des mathématiques.

Il est en tout cas exact que l'argumentation de Catelan est un des points qui permet de passer de mv² à mv et, de ce fait, elle est d'importance.

Les mécaniciens, après d'Alembert, n'acceptèrent nullement sa décision sans appel, car son jugement final était en faveur de mv comme mesure du mouvement. Ils s'en tinrent à l'expression qu'il avait donnée pour la distinction déjà faite par Leibniz entre forces inertes et forces vives : ce qui vaut pour l'équilibre, donc pour la statique, c'est mv ; pour le mouvement entravé, donc pour la dynamique, c'est mv². Quoique exacte dans l'ensemble, cette distinction n'a pourtant sous cette forme pas plus de sens logique que le distinguo bien connu du sous-officier prussien: en service, toujours « à moi », en dehors du service, toujours « moi ». On l'accepte en silence, c'est ainsi, nous ne pouvons rien y changer, et si, dans cette double mesure, il y a contradiction, qu'y pouvons-nous ?

Ainsi, par exemple, Thomson et Tait Traité de philosophie naturelle, Oxford, 1867, p. 162 :

La quantité de mouvement ou le moment d'un solide en mouvement sans rotation est proportionnel au produit de sa masse par sa vitesse. Une masse double ou une vitesse double correspondraient à une quantité double de mouvement.

Et aussitôt après :

La vis viva ou l'énergie cinétique d'un corps en mouvement est proportionnelle au produit de la masse par le Carré de la vitesse.

On rapproche les deux mesures contradictoires du mouvement sous cette forme tout à fait grossière, sans faire la moindre tentative pour expliquer la contradiction, ou même seulement pour la masquer. Il est interdit de penser dans le livre de ces deux Écossais, il n'est permis que de calculer. Rien d'étonnant à ce que l'un d'eux au moins, Tait, compte parmi les chrétiens les plus croyants de la croyante Écosse.

Dans les cours de Kirchhoff sur la mécanique mathématique, les formules mv et mv2 ne se rencontrent pas du tout sous cette forme.

Peut-être Helmholtz va-t-il nous venir en aide. Dans son livre Sur la conservation de la force, il propose d'exprimer la force vive par [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] point sur lequel nous re­vien­­drons. Puis, page 20 et suivantes, il fait une brève énumération des cas où le prin­ci­pe de la conservation de la force (donc [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math]) a été jusqu'ici utilisé et reconnu. On y trou­ve sous le numéro 2:

La transmission des mouvements par les corps solides et liquides incompressibles, dans la mesure où il n'y a pas frottement ou choc de substances non élastiques. Dans ces cas-là, notre principe général s'exprime ordinairement comme la règle selon laquelle un mouvement transmis ou modifié par des dispositifs mécaniques perd toujours exactement autant en intensité de force qu'il gagne en vitesse. Si nous nous représentons donc qu'une machine qui engendre de la force de travail d'une manière uniforme grâce à un processus quelconque, soulève un poids m avec une vitesse c, un autre dispositif mécanique pourra sou­le­ver le poids nm, mais seulement à la vitesse [math]\displaystyle{ \frac{n}{c} }[/math], de telle sorte que, dans les deux cas, la quantité de force de tension produite dans la machine dans l'unité de temps sera représentée par mgc, for. mule ou g représente l'intensité de la pesanteur. (Loc. cit. p. 21.)

Ainsi, nous avons ici encore cette contradiction: une « intensité de force », qui aug­mente ou diminue proportionnellement à la vitesse, doit servir à prouver la conservation d'une intensité de force, qui augmente ou diminue proportionnellement au carré de la vitesse.

Bien sûr, nous voyons ici que mv et [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] servent à déterminer deux processus tout à fait différents, mais nous le savions depuis longtemps, mv² ne peut pas être = mv, à moins que v = 1. Il s'agit de nous faire comprendre pourquoi le mouvement a deux sortes de mesure, chose qui est aussi impossible en science que dans le com­merce. Essayons donc d'y parvenir par une voie différente.

On mesure donc par mv « un mouvement transmis ou modifié par des dispositifs mécaniques » ; cette mesure est donc valable pour le levier et toutes ses formes dérivées, roue, vis, etc., bref pour tout mécanisme transmettant le mouvement. Or un raisonnement très simple et nullement neuf montre que, dans la mesure où mv est valable, mv² l'est aussi. Prenons un dispositif mécanique quelconque dans lequel les bras de levier soient réciproquement dans le rapport de 4 à 1, lequel, par conséquent, un poids de 1 kg. équilibre un poids de 4 kg. Par une très faible addition de force sur 1. un des bras de levier, nous élevons donc 1 kg. de 20 m. ; la même addition de force appliquée cette fois à l'autre bras élèvera 4 kg. de 5 m, le poids qui l'emporte s'abaissant dans le même temps que -l'autre s'élève. Masses et vitesse sont en raison inverse : mv, 1 x 20 = m' v', 4 x 5. Par contre si, après l'avoir élevé, nous laissons retomber librement chacun des poids au niveau primitif, le poids de 1 kg. atteint, après avoir parcouru une distance de 20 m, une vitesse de 20 m. (en prenant ici comme accélération de la pesanteur 10 m. en chiffre rond au lieu de 9 m, 81) ; par contre, le poids de 4 kg. atteint, après avoir parcouru une distance de 5 m., la vitesse de 10 m.

mv² = 1 X 20 X 20 = 400 m'v'² = 4 X 10 X 10 = 400.

Par contre les temps de chute sont différents: les 4 kg. parcourent leurs 5 m. en 1 seconde, le kilo ses 20 m. en 2 secondes. On néglige évidemment ici le frottement et la résistance de l'air.

Mais, après que chacun des corps est tombé de sa hauteur, son mouvement a cessé. mv apparaît donc ici comme la mesure du mouvement mécanique simplement transmis, donc qui continue, mv² comme celle du mouvement mécanique disparu.

Continuons. Il en va de même dans le cas du choc de deux corps parfaitement élas­tiques : la somme du produit des masses par la vitesse et celle du produit des mas­ses par le carré de la vitesse restent constantes avant et après le choc. Les deux mesures ont ici la même validité..

Il n'en est pas de même dans le cas du choc de corps non élastiques. Ici, les manuels élémentaires courants (la mécanique supérieure ne s'occupe presque plus du tout de telles bagatelles) nous apprennent que la somme des mv est également la même avant et après le choc. Par contre, il se produirait une perte de force vive, car, si ]!on retranche la somme des mv² après le choc de celle d'avant le choc, il y aurait un reste en tout cas positif ; la force vive aurait été diminuée de cette quantité (ou de sa moitié suivant la façon de voir) par la pénétration réciproque, ainsi que par le changement de forme réciproque des deux corps qui se heurtent. Cette dernière chose est claire et évidente. Il n'en va pas de même de la première affirmation suivant laquelle la somme des mv reste la même après le choc qu'avant. La force vive est, malgré Suter, du mouvement et, s'il s'en perd une partie, du mouvement se perd. Donc, ou bien mv exprime ici d'une façon inexacte la quantité de mouvement, ou bien l'affirmation précédente est fausse. D'une manière générale, tout ce théorème date d'une époque où l'où n'avait pas encore idée de la transformation du mouvement, où donc on n'admettait une disparition du mouvement mécanique que là où l'on ne pouvait pas faire autrement. Ainsi on prouve l'égalité de la somme des mv avant et après le choc par le fait que nulle part cette somme n'augmente ni ne diminue. Mais, si les corps perdent de la force vive du fait du frottement intérieur correspondant à leur absence d'élasticité, ils perdent aussi de la vitesse, et la somme des mv doit être plus petite après le choc qu'avant. Car il n'est pas possible de négliger le frottement intérieur dans le calcul des mv, alors qu'il fait apparaître si nettement son importance dans le calcul des mv².

Cependant cela ne change rien, même si nous acceptons ce théorème et si nous calculons la vitesse après la chute en partant de la supposition que la somme des mv est demeurée la même, nous trouvons même alors que la somme des mv² a diminué. Ici donc, mv et mv² se trouvent en opposition, et cela relativement à la différence de mouvement mécanique réellement disparu. Et le calcul lui-même démontre que la somme des mv² exprime correctement la quantité de mouvement, mais la somme des mv l'exprime de façon inexacte.

Ce sont là à peu près tous les cas dans lesquels mv est employé en mécanique. Étudions maintenant quelques cas où l'on emploie mv².

Quand un obus part du canon, il épuise sur sa trajectoire une quantité de mouve­ment qui est proportionnelle à mv², qu'il frappe un but solide ou qu'il cesse de se mouvoir par suite de la résistance de l'air et de la pesanteur. Quand un train entre en collision avec un second train à l'arrêt, la puissance du choc et les dégâts qui en résultent sont proportionnels à son mv². De même mv² s'applique au calcul de toute force mécanique nécessaire pour vaincre une résistance.

Mais que signifie cette formule commode, si familière aux mécaniciens : vaincre une résistance ?

Lorsqu'en soulevant un poids nous vainquons la résistance de la pesanteur, il disparaît une quantité de mouvement, une quantité de force mécanique égale à celle qui peut être produite à nouveau par la chute directe ou indirecte du poids soulevé tombant de la hauteur qu'il a atteinte jusqu'à son niveau initial. Elle se mesure par le demi-produit de sa masse par le carré de la vitesse finale atteinte dans la chute, soit [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math]. Que s'est-il passé lors de l'élévation ?

Le mouvement mécanique ou la force mécanique ont disparu en tant que tels. Mais celle-ci n'a pas été anéantie: elle s'est transformée en force mécanique de tension, pour employer l'expression de Helmholtz, en énergie potentielle, comme disent les modernes, en ergal comme Clausius l'appelle, et à un moment quelconque, de n'importe quelle manière admissible en mécanique, elle peut être reconvertie en mouvement mécanique de quantité égale à celle qui avait été nécessaire pour la produire. L'énergie potentielle n'est que l'expression négative de la force vive, et inversement.

Un obus de 24 livres frappe à une vitesse de 400 m.- seconde la paroi métallique de 1 m. d'épaisseur d'un cuirassé et n'a dans ces conditions aucun effet visible sur le blindage du navire. Il a donc disparu un mouvement mécanique égal à [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math], donc, étant donné que 24 livres = 12 kg., égal à 12 X 400 X 400 X 1/2 = 960.000 kilogrammes. Qu'est-il devenu ? Une partie insignifiante a servi à ébranler le blindage et à provoquer en lui un déplacement des molécules. Une autre partie a servi à faire exploser l'obus en éclats innombrables. Mais la plus grande partie s'est transformée en chaleur et a chauffé l'obus à blanc. Lorsque les Prussiens en 1864, lors de la tra­ver­sée vers l'île d'Alsen, firent donner leur artillerie lourde contre les parois cuirassées du Rolf Krake, ils virent dans 4l'obscurité à chaque coup au but l'éclair de l'obus brusquement porté au rouge, et Whitworth avait prouvé auparavant déjà par des expériences que des obus explosifs contre des cuirassés n'ont pas besoin de fusée; le métal incandescent lui-même allume la charge explosive. Si l'on admet comme équivalent mécanique de l'unité de quantité de chaleur 424 kilogrammètres, à la quantité de mouvement mécanique considéré correspondent 2.264 unités calorifiques. La chaleur spécifique du fer est = 0,1140, c'est-à-dire que la quantité de chaleur qui élève de in centigrade la température de 1 kg. d'eau et qui sert d'unité calorifique suffit pour élever de 1º la température de 1/0,1140 = 8,772 kg. de fer. Les 2.264 unités calorifiques en question élèvent donc la température d'un kg. de fer de 8,772 X 2264 = 19.860º, ou la température de 19.860 kg. de fer de 1º. Comme cette quantité de chaleur se répartit également sur le blin­dage du navire et sur l'obus qui le frappe, la température de celui-ci s'élèverait de [math]\displaystyle{ \frac{19,860^{\circ}}{2\times 12} }[/math] = 828º, ce qui donne déjà une jolie incandescence. Mais, comme la partie anté­­rieure de l'obus, la partie qui est à l'impact reçoit en tout cas la plus grande partie de l'échauffement, à peu près deux fois plus que la partie postérieure; la première serait réchauffée de 1.104 degrés et la seconde de 552 degrés, ce qui suffirait entièrement à expliquer l'effet d'incandecence, même si nous en retranchons une partie considérable pour le travail mécanique réellement fourni à l'impact.

Dans le frottement il disparaît également: du mouvement mécanique, pour repa­raître sous forme de chaleur. On sait qu'en mesurant avec le maximum de précision possible le deux phénomènes qui se correspondent réciproquement, Joule à Manches­ter et Colding à Copenhague réussirent les premiers à déterminer expérimen­talement de façon approchée l'équivalent mécanique de la chaleur.

Les choses se passent de même lors de la production d'un courant électrique dans une machine électromagnétique au moyen de force mécanique, par exemple d'une ma­chine à vapeur. La quantité des forces dites électromotrices, produite dans un temps donné est proportionnelle, - et, si elle est exprimée à l'aide de la même unité de me­sure, égale, - à la quantité de mouvement mécanique dépensée dans le même temps. Nous pouvons imaginer que celui-ci, au. lieu d'être produit par une machine à vapeur, est produit par un poids qui s'abaisse sous l'effet de la pesanteur. La force mécanique que celui-ci peut fournir est mesurée par la force vive qu'il acquerrait. s'il tombait en chute libre de la même hauteur, ou par la force nécessaire à le soulever à nouveau à la hauteur primitive, soit, dans les deux cas, par [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math].

Nous trouvons ainsi que le mouvement mécanique possède certes une double mesure. Mais nous nous persuadons aussi que chacune de ces mesures est valable pour une série limitée et très définie de phénomènes. Si un mouvement mécanique déjà existant est transmis de telle sorte qu'il se conserve en tant que mouvement mécanique, il se transmet selon la formule du produit de la masse par la vitesse. Mais, s'il est transmis de telle sorte qu'il disparaisse en tant que mouvement mécanique, pour reparaître sous la forme d'énergie potentielle, de chaleur, d'électricité, etc., si. en un mot il est transformé en quelque autre forme de mouvement, la quantité de cette nouvelle forme de mouvement est proportionnelle au produit de la masse primitive­ment mise en mouvement par le carré (le la vitesse. En un mot, mv est du mouvement mécanique mesuré en mouvement mécanique; [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] est du mouvement mécanique mesuré par sa faculté de se transformer en une certaine quantité d'une autre forme de mouvement. Et nous avons vu que ces deux mesures ne se contredisent cependant pas parce qu'elles sont de caractère différent.

Ainsi, il est donc évident que la querelle de Leibniz avec les Cartésiens n'était nullement une simple querelle de mots et que, au fond, « la décision sans appel » de d'Alembert ne résolvait rien du tout. D'Alembert aurait pu s'épargner ses tirades sur l'obscurité des conceptions de ses prédécesseurs, car il n'y voyait pas plus clair que ceux-ci. Et en fait tant qu'on ne savait pas ce que devient le mouvement mécanique apparemment détruit, on ne devait pas y voir clair. Et tant que les spécialistes de la mécanique mathématique restent, comme Suter, obstinément enfermés entre les quatre murs de leur science particulière, ils n'y voient pas plus clair que d'Alembert et ils sont obligés de nous payer de formules vides et contradictoires.

Mais comment la mécanique moderne exprime-t-elle cette transformation du mouvement mécanique en une autre forme de mouvement qui lui est quantitativement proportionnelle ? - Il a fourni du travail, et, qui plus est, telle et telle quantité de tra­vail. Mais le concept de travail au sens physique n'est pas épuisé pour autant. Lors­que, comme c'est le cas dans la machine à vapeur ou dans toute machine thermique, de la chaleur est convertie en mouvement mécanique, c'est-à-dire que du mouvement moléculaire est transformé en mouvement de masses, lorsque la chaleur décompose une com­bi­nai­son chimique, quand, dans la pile thermoélectrique, elle se convertit en électri­cité, quand un courant électrique dissocie les éléments constitutifs de l'eau à partir de l'acide sulfurique dilué, ou qu'inversement le mouvement libéré lors du processus chimique (le quelque élément galvanique (autrement dit l'énergie) prend la forme d'électricité et que celle-ci, en circuit fermé, se convertit à son tour en chaleur, dans tous ces phénomènes, la forme de mouvement initiale qui se convertit en une autre au cours du processus et grâce à lui, produit du travail et, qui plus est, une quantité de travail correspondant à sa propre quantité.

Le travail est donc le changement de forme du mouvement, considéré sous son aspect quantitatif.

Mais quoi ? Lorsqu'un poids soulevé reste tranquillement suspendu en l'air, son énergie potentielle pendant le repos est-elle aussi une forme de mouvement ? Bien entendu. Et même Tait en est arrivé à la conviction que l'énergie potentielle prendra dans la suite une forme de mouvement réel (Nature, XIV, 459). Et en outre Kirch­hoff va bien plus loin encore en disant (Mécanique mathématique, p. 32) : « Le repos est un cas Particulier du mouvement », prouvant ainsi qu'il n'est pas seulement capable de calculer, mais aussi de penser dialectiquement.

Ainsi, en examinant les deux mesures du mouvement mécanique, nous avons obtenu presque sans effort, accessoirement, le concept du travail, dont on nous disait qu'il était si difficile à saisir sans mécanique mathématique. Et, en tout cas, nous en savons plus maintenant à son sujet que nous n'en apprenons dans la conférence d'Helmholtz de 1862 sur la « conservation de la force », dans laquelle il s'est précisé­ment fixé comme but d' « éclaircir le plus possible les concepts physiques fondamen­taux de travail et leur caractère immuable ». Tout ce que nous y apprenons quant au travail, c'est qu'il est quelque chose qui s'exprime en livres-pieds ou encore en unités de quantité de chaleur et que le nombre de ces livres-pieds ou de ces unités de quantité de chaleur est invariable pour une certaine quantité de travail; que de plus, en dehors des forces mécaniques ou de la chaleur, les forces chimiques et électriques aussi peuvent fournir du travail, mais que toutes ces forces épuisent leur capacité de travail, dans la mesure où elles produisent réellement du travail. Et qu'il s'ensuit que la somme des quantités de forces susceptibles d'action dans l'ensemble du monde reste, malgré toutes les transformations qui ont lieu dans, la nature, éternellement et immuablement la même. Chez Helmholtz, le concept de travail n'est ni développé, ni même seulement défini. Et c'est précisément la constance quantitative de la gran­deur du mouve­ment qui l'empêche de voir que le changement qualitatif, le change­ment de forme est la condition fondamentale du travail physique. Et c'est ainsi qu'Helm­holtz peut s'aventurer à prétendre :

Le frottement et le choc non élastique sont des processus dans lesquels du travail mécani­que est détruit et, en compensation, de la chaleur engendrée. (Conf. pop., II, p. 166.)

C'est tout le contraire. Ici, il n'y a pas de travail mécanique détruit il y a du travail mécanique accompli. C'est le mouvement mécanique qui est apparemment détruit. Mais le mouvement mécanique ne peut jamais ni nulle part produire un millionième de kilogrammètre de travail, sans être apparemment détruit en tant que tel, sans se convertir en une autre forme de mouvement.

Or la capacité de travail contenue dans une quantité déterminée de mouvement mécanique s'appelle, comme nous l'avons vu, sa force vive et elle était mesurée jusqu'à ces derniers temps par mv². Mais ici surgissait une nouvelle contradiction. Écou­tons Helmholtz (Conservation de la force, p. 9) : il nous dit que la grandeur du tra­­vail peut s'exprimer par un poids m soulevé d'une hauteur h ; si nous représentons l'intensité de la pesanteur par g, elle est donc égale à mgh. Pour s'élever verticalement et librement à la hauteur h, m a besoin d'une vitesse v = [math]\displaystyle{ \sqrt{2gh} }[/math], vitesse qu'il atteint de nouveau en tombant de cette même hauteur. Donc mgh = [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math], et Helmholtz propose

de désigner immédiatement la grandeur [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] comme la quantité de force vive, grâce à quoi elle devient identique à la mesure de la grandeur du travail. Pour l'application qui a été faite jusqu'ici du concept de force vive... ce changement est sans importance, tandis que pour la suite il nous assurera des avantages essentiels.

C'est à peine croyable. Helmholtz en 1847 a une idée si peu claire de la question des relations réciproques entre la force vive et le travail qu'il ne remarque pas qu'il transforme l'ancienne mesure proportionnelle de la force vive en sa mesure absolue et qu'il n'a aucunement conscience de l'importante découverte qu'il a faite avec sa dé­mar­che hardie : il ne recommande son [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] plutôt que mv² que pour des rai­sons de com­modité ! Et c'est pour ces raisons de commodité que les mécaniciens ont laissé [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] prendre droit de cité. Ce n'est que peu à peu qu'on a fait aussi la preuve mathé­matique de [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math]; on trouve la démonstration algébrique chez Naumann (Chi­mie générale, p. 7, la démonstration analytique chez Clausius (Théorie mécanique de la chaleur, 2e éd., I, p. 18, laquelle est ensuite déduite et présentée différemment chez Kirchhoff (Loc. cit., p. 27).

Clerk Maxwell a donné (loc., cit., p. 88) une déduction algébrique élégante de [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] en partant de mv, ce qui n'empêche pas nos deux Écossais Thomson et Tait de dire (loc. cit., p. 163):

La vis viva, ou énergie cinétique d'un corps en mouvement, est proportionnelle à sa masse ainsi qu'au carré de sa vitesse. Si nous adoptons les mêmes unités de masse [et de vitesse] que précédemment (c'est-à-dire l'unité de masse se mouvant à la vitesse 1), il y a un avantage particulier à définir l'énergie cinétique comme le demi-produit de la masse par le carré de la vitesse.

Ainsi, les deux premiers mécaniciens d'Écosse ne sont pas trahis seulement par la pensée, mais par la faculté de calculer. L'avantage particulier, la commodité de la formule font figure d'argument décisif.

Pour nous, qui avons vu que la force vive n'est pas autre chose que la capacité pour une quantité de mouvement mécanique donné de produire du travail, il est évi­dent que l'expression de la mesure mécanique de cette capacité de travail et celle du travail réellement fourni par elle doivent être égales entre elles; donc que, si [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] mesure le travail, la force vive doit avoir également [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] pour mesure. Mais c'est ainsi que les choses se passent dans la science. La mécanique théorique aboutit au concept de force vive, la mécanique pratique des ingénieurs aboutit à celui de travail et elle l'impose aux théoriciens. Et, à force de calculer, on a tellement perdu l'habi­tude de penser que pendant des années on ne reconnaît pas les liaisons de l'une et de l'autre chose, qu'on mesure l'une par mv², l'autre par [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math], acceptant finalement [math]\displaystyle{ \frac{m v^{2}}{2} }[/math] pour les deux, non parce qu'on a compris le fond de l'affaire, mais pour la simplicité du calcul.